Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当边FG恰好经过点C时，由∠CFB=60°得BF=3-t，在Rt△CBF中，根据三角函数求得t的值；
（2）根据运动的时间为t不同的取值范围，求等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S的值，当0≤t＜1时，重叠部分是直角梯形，面积S等于梯形的面积，
当1≤t＜3时，重叠部分是S_梯形MKFE-S_△QBF，当3≤t＜4时，重叠部分是S_梯形MKFE，当4≤t＜6时，重叠部分是正三角形的面积；
（3）当AH=AO=3时，AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，在R_t△AME中，由cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，得AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，求出t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，又因为∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3-t=1或t-3=1，求出t=2或t=4；
当OH=OA=时∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到点E和点O重合，从而求出t的值

解答 解：如图1（1），当边FG恰好经过点C时，
∵∠CFB=60°，
∴BF=3-t，
在Rt△CBF中，
∵BC=2$\sqrt{3}$，tan∠CFB=$\frac{BC}{BF}$，
∴tan60=$\frac{2\sqrt{3}}{BF}$，
解得BF=2，即3-t=2，
∴t=1，
当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）如图2，过点M作MN⊥AB于N，
当0≤t＜1时，
∵tan60°=$\frac{MN}{EN}$=$\frac{2\sqrt{7}}{EN}$=$\sqrt{3}$，
∴EN=2，
∵EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
∴MC=1+t，
∴S=$\frac{1}{2}$（MC+EB）•BC=2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$；
如图3，当1≤t＜3时，
∵MN=2$\sqrt{3}$  EF=OP=6，
GH=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$，
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+3$\sqrt{3}$t+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$；
如图4，当3≤t＜4时，
∵MN=2$\sqrt{3}$，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，∴$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=8-2t，
∴S=-4$\sqrt{3}$t+20$\sqrt{3}$；
当4≤t＜6时，
∵EF=12-2t，
∴高为：EFsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，
∴S=$\sqrt{3}$t²-12$\sqrt{3}$t+36$\sqrt{3}$；

（3）存在．
在R_t△ABC中，tan$∠CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠CAB=30°
∵$∠HEO\$=60°，
∴∠HAE=∠AHE 30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
如图5，当AH=AO=3时，
过点E作EM⊥AH与M，
则AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
在R_t△AME中，
cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$；
∴t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
如图6，当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，
∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
∵AE+2AE=3，
∴AE=1，即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；
如图7，当OH=OA=时，
∠HOB=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=3，
当E刚开始时，3-t=3，
当E返回时t-3=3，
∴t=0，t=6（舍去），
综上所述当t=3-$\sqrt{3}$，t=3+$\sqrt{3}$，t=2，t=4，t=0时，△AOH是等腰三角形．

点评 此题主要考查了 平行四边形的性质、平行四边形的判定、矩形、矩形的性质、矩形的判定、菱形、菱形的性质、菱形的判定 等知识点