Question

）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

 

考点： 切线的判定；扇形面积的计算． 

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

（2）解：由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S_△COD﹣S_扇形DOE

和扇形的面积公式求解．

解答： （1）证明：∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切线；

 

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴CD=OD=2，

∴阴影部分的面积=S_△COD﹣S_扇形DOE

=×2×2﹣

=2﹣．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．