Question

如图，抛物线经过A（），B（），C（）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；

（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），

∴可设该抛物线的解析式为．

将A（-2，0），B（-，0）代入，得，

解得：

∴此抛物线的解析式为；……………………………………………4分

（2）由题意可求得直线AC的解析式为．………………………………………5分

如图，设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．

过D作y轴的平行线交AC于E．

∴E点的坐标为．

∴，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，

∴

………………………………………………7分

∵-2＜t＜0

∴当t=-1时，△DAC面积最大，此时点D的坐标为（-1，-1）．…………………8分

（3）点H存在．………………………………………………………………………9分

由（1）知，点M的坐标为

解法一：如图，假设存在点H，满足

作直线MH交轴于点K(，0)，作MN⊥轴于点N．

∵,

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴点K的坐标为（）……………………………………………………………11分

所以直线MK的解析式为.

∴ 把①代入②，化简，得：．

＞0． …………………………………12分

∴，．将代入中，解得

∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90?，

此时点H坐标为．…………………………………………………13分

解法二：如图，过点A作直线,过顶点M作MN⊥AM，MF分别交直线于点N和点F．则 ∠FMN＋∠AMF＝90?．

∵ ∠MAF＋∠AMF＝90?，

∴ ∠MAF＝∠FMN．

又∵ ∠AFM＝∠MFN＝90?，

∴ △AFM∽△MFN．

∴ AF∶MF＝MF∶FN． 即

∴ FN＝．

∴ 点N的坐标为． …………………11分

设过点M，N的直线的解析式为．

将M,N代入得：

解得：

所以直线MN的解析式为

∴ 把①代入②，化简，得：．

＞0．…………………………………12分

∴，．将代入中，解得

∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90?，

此时点H坐标为．