Question

3．已知圆的半径为R，AB、BC、CD分别为此圆的正三边形、四边形、正六边形的一边，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AD于点F，由内接四边形ABCD的边AB、BC、AD的长恰好分别等于⊙O内接正三角形、正方形、正六边形的边长，可得△AOB是顶角为120°的等腰三角形，△AOD是顶角为60°的等腰三角形，△BOC与△COD是等腰直角三角形，继而求得各三角形的面积，从而求得答案．

解答 解：连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AD于点F，
∵内接四边形ABCD的边AB、BC、AD的长恰好分别等于⊙O内接正三角形、正方形、正六边形的边长，
∴∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOD=60°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOE=60°，∠AOF=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，AF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴AB=2AE=$\sqrt{3}$R，AD=2AF=R，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×$\frac{1}{2}$R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
S_△BOC=S_△COD=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×R×R=$\frac{1}{2}$R²，
∴S_{四边形ABCD}=S_△AOB+S_△AOD+S_△BOC+S_△COD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R²+R²．

点评 本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的求法、正三边形、正四边形、正六边形的性质是解题的关键．