Question

15．如图，若⊙O的半径为10，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上的一动点，且∠ACB=45°，点D、E分别是AC、BC的中点，直线DE与⊙O交于F、G两点．当DF+EG取得最大值时，弦BC的长为20．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到AB=2DE，根据题意得到当FG是圆的直径的时候，DF+EG取得最大值，得到BC为⊙O的直径，得到答案．

解答 解：∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∴当FG是圆的直径的时候，DF+EG取得最大值，
此时点E与点O重合，BC为⊙O的直径，
∴BC=20．
故答案为：20．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和圆周角定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半、直径是圆中最长的弦是解题的关键．