Question

14．已知：T是直线y=x+3上的动点，设其横坐标为t，抛物线y=x²-tx-t-3的顶点为P．
（1）求证：直线和抛物线有两个交点．
（2）若T向上运动时，P也向上运动，求t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设直线和抛物线交于A，B两点，且B在y轴的右侧，求A，B两点到y轴的距离之和d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-tx-t-3}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-（t+1）x-t-6=0，只要证明△＞0即可．
（2）求出抛物线的顶点P的坐标（$\frac{t}{2}$，$\frac{-4t-12-{t}^{2}}{4}$），所以顶点纵坐标y_P=-$\frac{1}{4}$t²+t-3=-$\frac{1}{4}$（t+2）²-2，-$\frac{1}{4}$＜0，t≤-2时，y_P随t的增加而增加，由此不能解决问题．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）可知，x₁，x₂是方程x²-（t+1）x-t-6=0的两根，推出x₁+x₂=t+1，x₁x₂=-t-6，推出A，B两点到y轴的距离之和d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（t+1）^{2}+4t+24}$=$\sqrt{（t+3）^{2}+16}$，再求出t的范围，即可解决问题．

解答 （1）证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-tx-t-3}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-（t+1）x-t-6=0，
∵△=（t+1）²+4t+24=（t+3）²+16，
∵（t+3）²≥0，
∴△＞0，
∴直线和抛物线有两个交点．

（2）∵抛物线的顶点P的坐标（$\frac{t}{2}$，$\frac{-4t-12-{t}^{2}}{4}$）．
∴y_P=-$\frac{1}{4}$t²+t-3=-$\frac{1}{4}$（t+2）²-2，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，∴开口向下，
t≤-2时，y_P随t的增加而增加，
∴T向上运动时，P也向上运动时t的取值范围为t≤-2．

（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知，x₁，x₂是方程x²-（t+1）x-t-6=0的两根．
∴x₁+x₂=t+1，x₁x₂=-t-6，
∴A，B两点到y轴的距离之和d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（t+1）^{2}+4t+24}$=$\sqrt{（t+3）^{2}+16}$，
∵t≤-2，B在y轴的右侧，x₁+x₂＜0，
∴x₁x₂＜0，
∴-t-6＜0，
∴t＞-6，
∴-6＜t≤-2，
∴t=-2时，d有最小值，最小值为$\sqrt{17}$，
∵t=-6时，d=5
∴$\sqrt{17}$≤d＜5．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．