Question

【题目】如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针 OA、OB 分别从 OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30°，OB 运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：

（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，= 　　 秒时，OA与OB第一次重合；

（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，

①当=3秒时，∠AOB= 　　 °；

②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？

Answer 1

【答案】（1）4.5；（2）① 120°；②经过4.5，7.2秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.

【解析】

（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；

（2）①利用180°减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；

②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.

解：（1）若OA顺时针转动，OB逆时针转动，

∴∠AOM+∠BON=180°,

∴，

解得：；

∴秒，OA与OB第一次重合；

故答案为：4.5；

（2）①若OA、OB同时顺时针转动，

∴，，

∴；

故答案为：120；

② 由题意知，

∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).

当ON为∠AOB的角平分线时，有

180－30t ＝10t ，

解得：t ＝4.5；

当OA为∠BON的角平分线时，

10t ＝2(30t －180)，

解得：t ＝7.2；

当OB为∠AON的角平分线时，

30t －180＝2×10t ，

解得：t ＝18（舍去）；

∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.