Question

【题目】如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M.则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB.其中正确结论的有( )

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；过点M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性质得出，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正确.于是得到结论.

解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，

∵E、F分别为边AB，BC的中点，

∴AE＝BF＝BC，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE(SAS)，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠AMD＝180°﹣(∠ADE+∠DAF)＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，

故①正确；

∵DE是△ABD的中线，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，

故②错误；

设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，

在Rt△ABF中，，

∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，

∴△AME∽△ABF，

∴，即，

解得：，

∴，

∴，

故③正确；

如图，过点M作MN⊥AB于N，

则MN∥BC，

∴△AMN∽△AFB，

∴，

即，

解得，，

∴，

根据勾股定理得：，

∵ME+MF＝+＝a，MB＝a，

∴ME+MF＝MB，

故④正确.

综上所述，正确的结论有①③④共3个.

故选：B.