Question

15．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长是2$\sqrt{3}$，且OB边落在x轴的正半轴上，点A落在第一象限．将△OAB沿直线y=kx+b折叠，使点A落在x轴上，设点C是点A落在x轴上的对应点． 
（1）如果点A恰好落在点C（0，0），求b的值；
（2）设点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；
（3）直接写出当b=$\frac{1}{2}$时，点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，知如果点A恰好落在点C（0，0），则直线过点B．设直线和y轴的交点是M，则根据30°的直角三角形的性质即可求得b的值．
（2）连接AD、DC，可知AD=CD，根据勾股定理列方程得到b、m的关系式；
（3）当b=$\frac{1}{2}$时，代入（2）中m、b的关系式，求出C点坐标．

解答 解：（1）根据等边三角形的三线合一的性质，则此时直线过点B．
设直线和y轴的交点是M，
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2$\sqrt{3}$，
则OM=2，即b=2．
（2）如图，连接AD、DC，可知AD=CD，
Rt△OCD中，CD²=OC²+OD²=m²+b²①，
Rt△ADG中，
AD²=DG²+AG²=（$\sqrt{3}$）²+（3-b）²②，
由①、②得m²+6b-12=0，
∴b=2-$\frac{{m}^{2}}{6}$．
（3）当b=$\frac{1}{2}$时，2-$\frac{1}{6}$m²=$\frac{1}{2}$，解得m=±3；
故点C的坐标为（3，0）或（-3，0）．

点评 此题考查了一次函数的综合题目，涉及到图形的翻折变换、直角三角形的边角关系、勾股定理等综合应用等知识，有一定难度．