Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+（3b+1）x+b﹣3（a＞0），若存在实数m，使得点P（m，m）在该抛物线上，我们称点P（m，m）是这个抛物线上的一个“和谐点”．

（1）当a＝2，b＝1时，求该抛物线的“和谐点”；

（2）若对于任意实数b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B．

①求实数a的取值范围；

②若点A，B关于直线y＝﹣x﹣（+1）对称，求实数b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（）或（﹣2，﹣2）；（2）①0＜a＜27②b的最小值是

【解析】

（1）把x=y=m，a=2，b=1代入函数解析式，列出方程，通过解方程求得m的值即可；

（2）抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B．则关于m的方程m=am2+（3b+1）m+b-3的根的判别式△=9b2-4ab+12a．

①令y=9b2-4ab+12a，对于任意实数b，均有y＞0，所以根据二次函数y=9b2-4ab+12的图象性质解答；

②利用二次函数图象的对称性质解答即可．

（1）当a＝2，b＝1时，m＝2m2+4m+1﹣4，

解得m＝或m＝﹣2．

所以点P的坐标是（，）或（﹣2，﹣2）；

（2）m＝am2+（3b+1）m+b﹣3，

△＝9b2﹣4ab+12a．

①令y＝9b2﹣4ab+12a，对于任意实数b，均有y＞0，也就是说抛物线y＝9b2﹣4ab+12的图象都在b轴（横轴）上方．

∴△＝（﹣4a）2﹣4×9×12a＜0．

∴0＜a＜27．

②由“和谐点”定义可设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2是ax2+（3b+1）x+b﹣3＝0的两不等实根，．

∴线段AB的中点坐标是：（﹣，﹣）．代入对称轴y＝x﹣（+1），得

﹣＝﹣（+1），

∴3b+1＝+a．

∵a＞0，＞0，a＝1为定值，

∴3b+1＝+a≥2＝2，

∴b≥．

∴b的最小值是．