Question

如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，以A为圆心，1为半径画⊙A．
（1）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分面积（结果保留根号）．

Answer 1

解：（1）相切；
证明：连接AD，
∵∠C=30°，AC=2，
∴AD=1，
∵⊙A的半径为1，
∴AD=r，
∴直线BC与⊙A相切；

（2）∵AD=1，∠B=45°，
∴AD=BD=1，
∴BC=BD+CD=1+，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+60°=105°，
∴S_△BAC==（1+），S_扇形AEF==π，
∴S_阴影=．
分析：（1）连接AD，已知条件计算AD的长和圆的半径1比较大小即可；
（2）有（1）可知AD的长，利用三角形ABC的面积-扇形AEF的面积，即可求出阴影部分面积．
点评：本题考查了切线的判定定理和解直角三角形有关的知识以及阴影部分面积，题目具有一定的综合性．