Question

如图，抛物线y=x²-x-与x轴交于A、B两点，D为y轴上一点，E为抛物线上一点，是否存在这样的点D和E，使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出D、E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵y=x²-x-，
∴当y=0时，x²-x-=0，
解得x=-1或3，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（3，0），
AB=3-（-1）=4．
假设存在这样的点D和E，能够使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形．分两种情况：
①当AB为平行四边形的边时，则DE=AB=4．
∵D为y轴上一点，D点横坐标为0，
∴E点横坐标为：0+4=4或0-4=-4，
∴E₁（4，），E₂（-4，），
∴D₁（0，），D₂（0，）；
②当AB为平行四边形的对角线时，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB的中点坐标为（1，0），
∵D为y轴上一点，D点横坐标为0，
∴E点横坐标为：2，
∴E₃（2，-），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴点D₃的坐标为（0，），
综上可知，存在这样的点D和E，能够使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形，此时D₁（0，），D₂（0，），D₃（0，），E₁（4，），E₂（-4，），E₃（2，-）．
分析：先由抛物线的解析式，求出A、B两点的坐标，假设存在这样的点D和E，能够使以A、D、B、E为顶点的四边形为平行四边形，再分两种情况进行讨论：①当AB为平行四边形的边时，由DE=AB=4，可求得点E的横坐标，代入y=x²-x-，进而求得点D、E的坐标；②当AB为平行四边形的对角线时，先由中点坐标公式求出AB的中点坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分，求出点E的横坐标，代入y=x²-x-，进而求得点D、E的坐标．
点评：本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，难度适中，运用分类讨论与数形结合思想是解题的关键．