Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S_△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由S_△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x²-4x-5；

（2）设E点坐标为（n，n²-4n-5），抛物线对称轴为x=2，
由2（n-2）=EF，得2（n-2）=-（n²-4n-5）或2（n-2）=n²-4n-5，
解得n=1±或n=3±，
∵n＞0，
∴n=1+或n=3+，
边长EF=2（n-2）=2-2或2+2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，-5），
设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，
解得：，
则直线BC解析式为y=x-5，
依题意△MBC中BC边上的高为，
∴直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7，
联立，，
解得或，
∴M点的坐标为（-2，7），（7，16）．
分析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S_△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；
（2）设E点坐标为（m，m²-4m-5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m-2|=EF，列方程求解；
（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x-5，则直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．