Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）求证：∠BDE=∠ADP；

（3）设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）详见解析；（3）y=x

【解析】

（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把点B的坐标（4，0）代入即可；
（2）先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP；
（3）先连结PE，根据三角形外角的性质得∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，由圆周角定理得∠DEP=∠ABD，由（2）知∠ADP=∠BDE，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，由直径所对的圆周角是直角得∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x．

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入点B（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=﹣1，

则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；

（2）由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BOD≌△COD，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP；

（3）连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；