Question

【题目】阅读以下材料：有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．

小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：

①设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）对应的二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0）；

②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：

方程根的几何意义：

（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；

（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）补充表格见解析；（2）0＜m＜3

【解析】

（1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；

（2）分m＞0，m＜0两种情况，根据题意结合图象可得x=-1时y的取值范围，从而得出关于m的不等式组，解不等式组即可．

（1）补全表格如下：

（2）设一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0对应的二次函数为：y＝mx2﹣（2m+3）x﹣4m，

∵一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，

①当m＞0时，x＝﹣1时，y＞0，

即m+2m+3-4m＞0

解得：m＜3，

∴0＜m＜3．

②当m＜0时，x＝﹣1时，y＜0，

即m+2m+3-4m＜0

解得：m＞3（舍弃）

∴m的取值范围是0＜m＜3．