Question

11．如图，已知△ABC中∠A=30°，∠C=90°，AB=4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′．在整个旋转过程中．
（1）求线段AC扫过部分区域扇形CAA′的面积．
（2）作CD⊥AB于D，点D′为点D旋转后的对应点，则线段AD扫过部分区域是由哪些线段和圆所围成的？
（3）求出线段AB扫过部分区域的面积．注：第（2）（3）题只要给出直接结果．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，AB=4、BC=2、AC=2$\sqrt{3}$，根据扇形面积公式可求扇形CAA′的面积；
（2）线段AD扫过部分区域是由AD、$\widehat{DD′}$、AD′、$\widehat{AA′}$所围成的；
（3）线段AB扫过部分区域的面积═S_扇形CAA′+S_△ABC-S△_A′B′C-S_扇形CBB′，列式计算可得．

解答 解：（1）在RT△ABC中，∵∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形CAA′=$\frac{90•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3π；
（2）如图，线段AD扫过部分区域是由AD、$\widehat{DD′}$、AD′、$\widehat{AA′}$所围成的；

（3）线段AB扫过部分区域的面积=S_扇形CAA′+S_△ABC-S△_A′B′C-S_扇形CBB′
=$\frac{90•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$
=2π．

点评 此题考查了作图-旋转变换，以及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．