Question

在平面直角坐标系中，点A（m，m）在第一象限，且实数m满足条件：|

3

-m|=m-

m-4

，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．

（1）求m的值；
（2）如图1，BE=1，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连接EF，D在AO上，且AD=AE，连接ED并延长交x轴于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，G为线段OC延长线上一点，AC=CG，E为线段OB上一动点（不与O，B重合），F为线段CE的中点，若BF⊥FK交AG于K，请问∠FBK的大小是否变化？若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由

m-4

有意义可得m≥4，从而得到|

3

-m|=m-

3

，然后根据条件就可求出m的值．
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，易求出OA、AE、AD、OD的长，然后根据相似三角形的性质可求出DH、OH、PH的值，就可得到点P的坐标．
（3）过点K作KM⊥AC于点M，过点K作KN⊥BA，交BA的延长线于点N，延长BF、AC交于点Q，连接KQ，如图2．易证四边形AMKN是正方形，则有KM=KN，∠MKN=90°．易证△BFE≌△QFC，则有BF=QF，根据垂直平分线的性质可得KB=KQ，从而可证到Rt△BNK≌Rt△QMK（HL），则有∠BKN=∠QKM，从而可得到∠BKQ=90°，进而得到∠KBQ=∠KQB=45°．

解答：解：（1）∵

m-4

有意义，
∴m≥4，
∴|

3

-m|=m-

3

．
∵|

3

-m|=m-

m-4

，
∴m-

3

=m-

m-4

，
解得：m=7，
∴m的值为7．

（2）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1．
∵AB⊥y轴，AC⊥x轴，∠BOC=90°，
∴∠ABO=∠BOC=∠ACO=90°，
∴四边形ABOC是矩形．
∵m=7，A（m，m），
∴OC=AB=OB=AC=7，
∴AO=7

2

．
∵BE=1，AB=7，
∴AE=

AB2+BE2

=

50

=5

2

．
∵AE=AD，∴AD=5

2

，
∴OD=2

2

．
∵DH⊥OC，AC⊥OC，
∴DH∥AC，
∴△ODH∽△OAC，
∴

OH

OC

=

DH

AC

=

OD

OA

，即

OH

7

=

DH

7

=

2 2

7 2

，
∴OH=DH=2．
同理可得：

PH

OP

=

DH

OE

，
∴

PH

2+PH

=

2

7-1

=

1

3

，
解得：PH=1，
∴OP=OH+PH=2+1=3，
∴点P的坐标为（3，0）．

（3）∠FBK的大小不变．
过点K作KM⊥AC于点M，过点K作KN⊥BA，交BA的延长线于点N，
延长BF、AC交于点Q，连接KQ，如图2．
∵∠N=∠MAN=∠AMK=90°，
∴四边形AMKN是矩形．
∵AC=CG，∠ACG=90°，∴∠CAG=45°．
∵∠AMK=90°，∴∠AKM=∠CAG=45°，
∴AM=KM，∴矩形AMKN是正方形，
∴KM=KN，∠MKN=90°．
∵BE∥CQ，∴∠EBF=∠CQF．
在△BFE和△QFC中，

∠EBF=∠CQF ∠EFB=∠CFQ EF=CF

，
∴△BFE≌△QFC（AAS），
∴BF=QF．
∵BF⊥KF，∴KB=KQ．
在Rt△BNK和Rt△QMK中，

KB=KQ KN=KM

，
∴Rt△BNK≌Rt△QMK（HL），
∴∠BKN=∠QKM，
∴∠BKQ=∠BKM+∠QKM=∠BKM+∠BKN=∠MKN=90°，
∴∠KBQ=∠KQB=45°．

点评：本题主要考查了矩形、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，综合性比较强．由

m-4

有意义得到m≥4是解决第（1）小题的关键，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键，运用全等三角形的性质是解决第（3）小题的关键．