Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，M是AD 的中点，过点A作AN∥BC交BM的延长线于点N．
（1）求证：△AMN≌△DMB；
（2）求证：四边形ADCN是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①∵NF∥BC，

∴∠ANM=∠DBM，

∵M是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AM=DM，BD=CD，

在△AMN和△DMB中， ，

∴△AMN≌△DMB（AAS）

（2）证明：由（1）知，△AMN≌△DMB，则AN=DB．

∵DB=DC，

∴AN=CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，M是AD的中点，

∴AD=DC= BC，

∴四边形ADCF是菱形

【解析】（1）根据AAS证明△AMN≌△DMB即可；（2）利用全等三角形的对应边相等得到AN=BD．证出四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；
【考点精析】掌握直角三角形斜边上的中线和菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．