Question

【题目】如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，

∴∠FMC=∠FCM；

（2）解：AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，

∴AD⊥MC．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，然后再利用AAS证明△DFC≌△AFM（AAS），最后依据全等三角形的性质和等腰三角形的判定定理进行证明即可；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，于是可得出∠FDE=∠FMC=45°，接下来，再依据平行线的判定定理进行证明DE∥CM，然后再依据垂线的性质进行判断即可.
【考点精析】掌握等腰直角三角形是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．