Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型,分类讨论

分析：先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷

1

2

=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×4=2（cm），
点E在AB上时，t=2÷1=2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2-2=6（cm），
∴t=6÷1=6（秒）（舍去）；
②∠BED=90°时，BE=BD•cos60°=

1

2

×2×

1

2

=0.5，
点E在AB上时，t=（4-0.5）÷1=3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm），
t=4.5÷1=4.5（秒），
综上所述，t的值为2或3.5或4.5．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形的相关知识，难点在于分情况讨论．