Question

15．二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x=-1．
（1）求函数解析式；
（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax²的图象？
（3）若图象与x轴交于A、B（A在B左）与y轴交于C，顶点D，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性可知抛物线经过点（-3，0），然后利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，然后进行进行平移即可；
（3）如图所示：四边形ADCB的面积=△AED的面积+梯形DCOE的面积+△OBC的面积．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴抛物线经过点（-3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点（0，3）代入得：-3a=3，解得：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1）．
整理得：抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）y=-x²-2x+3=-（x²+2x+1-1）+3=-（x+1）²+4，
∴将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移4个单位长度可得到y=-x²的图象．
（3）如图所示：

由（2）可知点D的坐标为（-1，4）．
四边形ADCB的面积=△AED的面积+梯形DCOE的面积+△OBC的面积
=$\frac{1}{2}AE•DE$+$\frac{1}{2}（ED+OE）•EO$+$\frac{1}{2}OB•OC$
=$\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×（4+3）×1+\frac{1}{2}×1×3$
=4+$\frac{7}{2}$+$\frac{3}{2}$
=9．

点评 本题主要考查的是求二次函数的解析式、平移与坐标变化、不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化规则图形的面积是解题的关键．