Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AD和BE交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：求出∠ADB=∠BEC=∠AEH=90°，∠EAH=∠CBE，根据等腰三角形性质求出BC=2BD，证△AEH≌△BEC，根据全等得出AH=BC即可．

解答：证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BEC=∠AEH=90°，
∵∠CBE+∠BHD+∠ADB=180°，∠AEH+∠EAH+∠AHE=180°，∠AHE=∠BHD，
∴∠EAH=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，

∠AEH=∠BEC AE=BE ∠EAH=∠CBE

，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∵BC=2BD，
∴AH=2BD．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AH=BC和得出BC=2BD，难度适中．