Question

已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．
（1）求证：△ACD为直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．…
在Rt△ABC中，∵∠B=90°
∴BC²+AB²=AC²（勾股定理）…
得 ．…
∵AD=2AC，DC=2BC，
∴AD=8，．…
∴AC²+CD²=16+48=64，AD²=64
∴AD²=AC²+CD²． …
因此，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．…

（2）解：∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，…
∴=．…
【说明】括号内注明理由的不写要扣分，一个．
分析：（1）根据勾股定理求出BC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出△ACD为直角三角形；
（2）根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，证明△ACD为直角三角形是解题的关键．