Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．
（1）D点坐标为（

 

，

 

）．
（2）BC=

 

，BD=

 

，CD=

 

，并判断△BCD的形状．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用抛物线的顶点公式即可得出D点的坐标；
（2）结合题意，可知可得出B点、C点和点D点的坐标，即可分别得出三个线段的长度，利用向量关系易得，BC⊥CD，即△BCD为直角三角形；
（3）假设存在这样的点P，经分析，有以下几种情况：①连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，②过A作AP₁⊥AC交y轴于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△BCD；③过4C作CP₂⊥AC，交x轴于P₂
可知Rt△P₂CA∽Rt△BCD；结合上述情况，分别可得出对应的P的坐标；

解答：解：（1）D（1，-4）（2分）

（2）结合题意，可得C（0，-3）；B（3，0）
BC=3

2

，BD=2

5

，CD=

2

，
且

CB

=（3，1），

CD

=（1，-3），
可知

CD

•

CD

=0，
即△BCD是直角三角形　　　　　　　　　　　　（6分）

（3）①连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，符合条件的点为O（0，0）
②过A作AP₁⊥AC交y轴于P₁
可知Rt△CAP₁∽Rt△BCD符合条件的点为P1(0，

1

3

)
③过C作CP₂⊥AC，交x轴于P₂
可知Rt△P₂CA∽Rt△BCD，符合条件的点为P₂（9，0）
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）（12分）

点评：本题主要考查了抛物线方程的顶点公式和相似三角形的判定等知识点，有一定的综合性．