Question

如图，已知?ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）由?ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，可证得DA=DF，然后由ASA证得：△ADG≌△FDM．
（2）延长GD至点N，使DN=CE，连结AN先证明△ADN≌△DEC，再证AN=NG=CD=AB

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=FD，
∵DE⊥BC，DH⊥AB，
∴∠ADG=∠FDM=90°，
在△ADG和△FDM中，

∠DAG=∠DFM AD=FD ∠ADG=∠FDM

，
∴△ADG≌△FDM（ASA）．

（2）AB=DG+EC．
证明：延长GD至点N，使DN=CE，连接AN，
∵DE⊥BC，AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC=90°，
在△ADN和△DEC中，

AD=DE ∠ADN=∠DEC DN=EC

，
∴△ADN≌△DEC（SAS），
∴AN=CD=DG+DN=DG+EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=DG+EC．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．