Question

如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，试判定四边形DEBF是怎样的特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．