Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁与四边形OABD的面积S满足：S₁=

2

3

S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据直线平移的方法即可求解；
（3）作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，根据S_{四边形ABDM}=S_梯形ABNM+S_△BDN，S_△ABD=S_{四边形ABDM}-S_△ADM即可求解；
（4）首先求得D的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据S₁=S_△OCD+S_△OCE即可求得S₁的值，进而求得S₂，根据E（x₀，y₀）在二次函数的图象上，即可求得x₀的值，进而求得E的坐标．

解答：解：（1）设正比例函数的解析式是y=kx，代入（3，3），得：3k=3，解得：k=1，
则正比例函数的解析式是：y=x；
设反比例函数的解析式是y=

k1

x

，把（3，3）代入解析式得：k₁=9，
则反比例函数的解析式是：y=

9

x

；

（2）m=

9

6

=

3

2

，则点B的坐标是（6，

3

2

），
∵y=k₃x+b的图象是由y=x平移得到，
∴k₃=1，即y=x+b，
一次函数的解析式是：y=x-

9

2

；

（3）∵y=x-

9

2

的图象交y轴于点D，
∴D的坐标是（0，-

9

2

），
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是（3，3），B的坐标是（6，

3

2

），
∴M的坐标是（0，3），N的坐标是（0，

3

2

）．
∴OM=3，ON=

3

2

．
则MD=3+

9

2

=

15

2

，DN=

3

2

+

9

2

=6，MN=3-

3

2

=

3

2

．
则S_△ADM=

1

2

×3×

15

2

=

45

4

，S_△BDN=

1

2

×6×6=18，S_梯形ABNM=

1

2

（3+6）×

3

2

=

27

4

．
则S_{四边形ABDM}=S_梯形ABNM+S_△BDN=

27

4

+18=

99

4

，
S_△ABD=S_{四边形ABDM}-S_△ADM=

99

4

-

45

4

=

54

4

=

27

2

；

（4）设二次函数的解析式是y=ax²+bx-

9

2

，
则

9a+3b- 9 2 =3 36a+6b- 9 2 = 3 2

，
解得：

a=- 1 2 b=4

，
则这个二次函数的解析式是：y=-

1

2

x²+4x-

9

2

；
点C的坐标是（

9

2

，0）．
则S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假设存在点E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

9

2

y₀
=

81

8

+

9

4

y₀，
∴

81

8

+

9

4

y₀=

27

2

，
∴y₀=

3

2

，
∵E（x₀，y₀）在二次函数的图象上，
∴-

1

2

x₀²+4x₀-

9

2

=

3

2

，
解得：x₀=2或6．
当x₀=6时，点E（6，

3

2

）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x₀=6，（舍去）．
∴E的坐标是（2，

3

2

）．

点评：本题是一次函数、反比例函数、二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式是基本方法，根据四边形CDOE的面积求得E的纵坐标是解决本题的关键．