Question

3．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD为△ABC的高，E点在AB上，G点在BC上，且满足∠DEG=45°，∠DBC=∠BEG．若$\frac{FG}{BC}$=$\frac{1}{5}$，则$\frac{AE}{BE}$的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 若求$\frac{AE}{BE}$的值可作AH⊥BC，将$\frac{AE}{BE}$的值转化到求$\frac{GH}{BG}$，根据$\frac{FG}{BC}$=$\frac{1}{5}$设FG=a、BC=5a，作DM⊥EG、DN⊥BC，证△BEG≌△DBN得BG=DN，可推得△BFG≌△DCN可知CN=FG=a、EG=BN=4a，再证△GBF∽△GEB得BG=2a，进而表示出GH=$\frac{1}{2}$a，最后根据AH∥EG可得．

解答 解：如图，过点D作DM⊥EG，DN⊥BC垂足为M、N，过点A作AH⊥BC，垂足为BC，

∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠C=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵∠DBC=∠BEG，
∴∠BEG+∠ABC=90°，
∴∠EGB=90°，即BC⊥EG，
∵DM⊥EG，
∴DM∥BC，
∴∠FBG=∠FDM，
∴∠FDM=∠BEG，
∵∠DEM=∠EDM=45°，
∴∠DEM+∠BEG=∠EDM+∠FDM，即∠BED=∠BDE，
∴BE=BD，
在△BEG和△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠DNB=90°}\\{∠BEG=∠DBN}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DBN（AAS），
∴BG=DN，
又∵∠BFG+∠FBG=90°，∠FBG+∠C=90°，
∴∠BFG=∠C，
在△BFG和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠C}\\{∠BGF=∠DNC=90°}\\{BG=DN}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DCN（AAS），
∴FG=CN，
∵$\frac{FG}{BC}$=$\frac{1}{5}$，设FG=a，则BC=5a，
∴CN=a，BN=BC-CN=4a，EG=BN=4a，
∵∠EGB=∠BGF=90°，∠BEG=∠FBG，
∴△GBF∽△GEB，
∴$\frac{BG}{EG}=\frac{GF}{GB}$，即$\frac{BG}{4a}=\frac{a}{BG}$，解得：BG=2a，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$a，
∴GH=BH-BG=$\frac{1}{2}$a，
∵AH∥EG，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{GH}{BG}=\frac{\frac{1}{2}a}{2a}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等，通过作平行线将待求比值转化求另一组线段的比是此题的出发点，能根据构建全等、相似等表示出线段的长度是关键．