Question

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，D点在AB上且AD=$\frac{1}{3}$AB，那么CD的长是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 过D作DE∥BC，交AC于E．在Rt△ABC中，根据含30度角的直角三角形的性质得出AB=2BC=6，AC=$\sqrt{3}$BC=3$\sqrt{3}$，那么AD=$\frac{1}{3}$AB=2．在Rt△ADE中，根据含30度角的直角三角形的性质得出DE=$\frac{1}{2}$AD=1，AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$，那么EC=AC-AE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理得出CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

解答 解：过D作DE∥BC，交AC于E．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，
∴AB=2BC=6，AC=$\sqrt{3}$BC=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=2．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠A=30°，BC=3，AD=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$，
∴EC=AC-AE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故选B．

点评 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线是解题的关键．