Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．
（1）抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}$的碟宽为4，抛物线y=ax²（a＞0）的碟宽为$\frac{2}{a}$．
（2）如果抛物线y=a（x-1）²-6a（a＞0）的碟宽为6，那么a=$\frac{1}{3}$．
（3）将抛物线y_n=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的准蝶形记为F_n（n=1，2，3，…），我们定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F_n与F_n-1的相似比为$\frac{1}{2}$，且F_n的碟顶是F_n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．
①求抛物线y₂的表达式；
②请判断F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²，利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax²（a＞0）求出碟宽；
（2）根据（1）的结论，根据碟宽AB=6易得a的值；
（3）①由y₁，易推y₂．②结合画图，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑h_n∥h_n-1，且都过F_n-1的碟宽中点，进而可得．另画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于“F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？”，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反则结论成立．求直线方程只需考虑特殊点即可．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=-y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟宽为$\frac{2}{a}$．
抛物线y=$\frac{1}{2}$x²对应的a=$\frac{1}{2}$，得碟宽$\frac{2}{a}$为4；
抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{a}$；
（2）∵y=a（x-1）²-6a（a＞0）
∴同（1），其碟宽为$\frac{2}{a}$，∵抛物线y=a（x-1）²-6a（a＞0）的碟宽为6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得 a=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$；

（3）①∵F₁的碟宽：F₂的碟宽=2：1，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{{a}_{2}}$，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$．
∵y=$\frac{1}{3}$（x-1）²-2的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F₂的碟顶坐标为（2，0），
∴y₂=$\frac{2}{3}$（x-1）²+1，
②∵F_n的准碟形为等腰直角三角形，
∴F_n的碟宽为2h_n，
∵2h_n：2h_n-1=1：2，
∴h_n=$\frac{1}{2}$h_n-1=${（\frac{1}{2}）}^{2}$h_n-2=（$\frac{1}{2}$^）3h_n-3=…=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹h₁，
∵h₁=3，
∴h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．
∵h_n∥h_n-1，且都过F_n-1的碟宽中点，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在一条直线上，
∵h₁在直线x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直线x=2上，
∴F_n的碟宽右端点横坐标为2+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
另，F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．
分析如下：
考虑F_n-2，F_n-1，F_n情形，关系如图2，

F_n-2，F_n-1，F_n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=$\frac{1}{2}$•∠GFH=$\frac{1}{2}$•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点，
∴HE，EB在一条直线上，
∴F_n-2，F_n-1，F_n的碟宽的右端点是在一条直线，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在一条直线．
∵F₁：y₁=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3准碟形右端点坐标为（4，1），
F₂：y₂=$\frac{3}{2}$（x-2）²准碟形右端点坐标为（2+$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴待定系数可得过两点的直线为y=-x+5，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．

点评 本题考查等腰直角三角形，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生清晰理解有一定困难，解题的关键是由抛物线y=ax²（a＞0），得到碟宽只和a有关，即碟宽为 $\frac{2}{a}$．