Question

如图所示，△CDF是等边三角形，且∠ACB=120°．
（1）找出图中所有的相似三角形；
（2）求证：FD²=AD•BF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据条件可得∠ADC=∠CFB=∠ACB=120°，∠ACD=∠CBF，可得出三角形相似；
（2）根据（1）中的△ACD∽△CBF，结合CF=CD=DF，可证得结论．

解答：（1）解：∵△CDF为等边三角形，
∴∠CDF=∠CFD=∠DCF=60°，
∴∠ADC=∠CFB=∠ACB=120°，
在△ACD和△ABC中又∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
同理△BCF∽△BAC，
又∵∠A+∠ACD=∠CDF=60°，∠ACD+∠BCF=120°-∠DCF=60°，
∴∠A=∠BCF，
∴△ACD∽△CBF；
（2）证明：∵△ACD∽△CBF，
∴

AD

CF

=

CD

BF

，
∴CF•CD=AD•BF，
又∵CF=CD=FD，
∴FD²=AD•BF．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．