Question

如图（1），△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，由C向A方向运动，动点P边BC上，由B向C运动，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中
（1）AP=BD；
（2）探究：如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（3）应用：如果把原题中“动点P在边BC上，由B向C运动”改为“动点P在AB的延长线上由点B向F运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，
①请猜想DE=线段

 

；
②根据上述猜想，加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证∠C=∠ABC=60°，即可证明△ABP≌△BCD，可得BD=AP；
（2）易证∠BAD=∠ACP=120°，即可证明△ABD≌△CAP，可得∠ABD=∠PAC，根据∠APC+∠PAC=∠ACB=60°即可求得∠BQP=60°；
（3）作DF∥AB，易证∠EDF=∠BPE和DF=BP，即可证明△DEF≌△PEB，可得DE=PE．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，
∵在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABC=∠C BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD，（SAS）
∴BD=AP；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠ACP=120°，
∵在△ABD和△CAP中，

AD=CP ∠BAD=∠ACP AB=AP

，
∴△ABD≌△CAP，（SAS）
∴∠ABD=∠PAC，
∵∠BQP=180°-∠APC-∠PBQ=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD，
∠APC+∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠BQP=180°-∠APC-∠CBA-∠ABD=180°-∠CBA-∠ACB=60°；
（3）作DF∥AB，

∵DF∥AB，
∴△CDF是等边三角形，∠EDF=∠BPE，
∴DF=CD，
∵CD=BP，
∴DF=BP，
∵在△DEF和△PEB中，

∠DEF=∠PBE ∠EDF=∠BPE DF=BP

，
∴△DEF≌△PEB，（AAS）
∴DE=PE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△BCD、△ABD≌△CAP和△DEF≌△PEB是解题的关键．