【题目】如图,平行四边形中,是对角线的中点,过点的直线分别交,的延长线于,.
(1)求证:;
(2)若,试探究线段与线段之间的关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)OC∥DF,且OC=DF,理由见解析.
【解析】
(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,得出∠ADB=∠CBD,证明△BOF≌△DOE,得出DE=BF,即可得出结论;
(2)证出CF=BC,得出OC是△BDF的中位线,由三角形中位线定理即可得出结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵O是对角线BD的中点,
∴OB=OD,
在△BOF和△DOE中,
,
∴△BOF≌△DOE(ASA),
∴DE=BF,
∴DE=AD=BF﹣BC,
∴AE=CF;
(2)解:OC∥DF,且OC=DF,理由如下:
∵AE=BC,AE=CF,
∴CF=BC,
∵OB=OD,
∴OC是△BDF的中位线,
∴OC∥DF,且OC=DF.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为______
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断:①抛物线开口向下;②当x=-2时,y取最大值;③当m<4时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根;④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c> ax2+bx+c时,x的取值范围是-4<x<0;其中推断正确的是 ( )
A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④
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【题目】如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点在轴的正半轴上,.对角线相交于点,反比例函数的图像经过点,分别与交于点.
(1)若,求的值;
(2)连接,若,求的面积.
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【题目】平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给出下列结论:①abc<0;②c+2a>0;③9a﹣3b+c=0;④a﹣b≤am2+bm(m为实数);⑤4ac﹣b2<0.其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,D是AB中点,一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E,F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.
(1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;
(2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中:
①探究三条线段AC,CE,CF之间的数量关系,并说明理由;
②若CE=9,CF=4,求CN的长.
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【题目】如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点,与反比例函数y2=的图象分别交于C.D两点,点D(2,﹣3),OA=2.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式;
(2)直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围.
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【题目】如图,点C是等边△ABD的边AD上的一点,且∠ACB=75°,⊙O是△ABC的外接圆,连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F.
(1)求证:∠BAF=∠CBD;
(2)过点C作CG∥AE交BD于点G,求证:CG是⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,当AF=2时,求的值.
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