Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D是AB中点，一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；

（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①探究三条线段AC，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；

②若CE＝9，CF＝4，求CN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①见解析②

【解析】

（1）证明△DCE≌△DCF（SAS），即可解决问题．

（2）①证明△CDF∽△CED，可得，即CD2=CECF，再证明AC=2CD即可解决问题．

②作DK∥AE交BC于K．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

（1）证明：如图1中，连接CD．

∵∠ACB=120°，AC=BC，AD=BD，

∴∠BCD=∠ACD=60°，∠BCE=∠ACF=60°．

∴∠DCE=∠DCF=120°．

又∵CE=CF，CD=CD，

∴△DCE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF；

（2）①如图2中，连接CD．

∵∠DCF=∠DCE=120°，

∴∠CDF+∠F=180°-120°=60°．

又∵∠CDF+∠CDE=60°，∴∠F=∠CDE．

∴△CDF∽△CED，

∴，即CD2=CECF．

∵∠ACB=120°，AC=BC，AD=BD，

∴CD=AC．

∴AC2=4CECF．

②作DK∥AE交BC于K．

∵AC2=4CECF=144，

∴AC=BC=12，

∵AD=BD．DK∥AC，

∴CK=KB=6，

∴DK=AC=6，

∵ ，

∴CN=CK=．