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【题目】ABC中,∠B45°,∠C30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE

1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC   度(直接填空);

2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BDEC

3)当AB2,且点EAC的距离等于1时,直接写出tanCAE的值.

【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)

【解析】

1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;

2)如图2中,作PAABBCP,连接PE.只要证明BAD≌△PAESAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;

3)如图3,作EFACF,延长FEBCH,作AGBCGPAABBCP,连接PE.设PHx,在RtEPH中,可得EPxEH2PH2x

由此FH2x+1CF2x+3,由BAD≌△PAE,得BDEPxAEAD,在RtABG中, AGGB2,在RtAGC中,AC2AG4,故AE2AD2AF2+EF2,由勾股定理得AF1+,由此tanEAF2,根据对称性可得tanEAC

1)如图1中,

∵∠EDC=∠B+BED,∠B=∠BED45°

∴∠EDC90°

故答案为90

2)如图2中,作PAABBCP,连接PE

∵∠DAE=∠BAP90°

∴∠BAD=∠PAE

∵∠B45°

∴∠B=∠APB45°

ABAP

ADAE

∴△BAD≌△PAESAS),

BDPE,∠APE=∠B45°

∴∠EPD=∠EPC90°

∵∠C30°

EC2PE2BD

3)如图3,作EFACF,延长FEBCH,作AGBCGPAABBCP,连接PE

PHx,在RtEPH中,∵∠EPH90°,∠EHP60°

EPxEH2PH2x

FH2x+1CFFH2x+3

∵△BAD≌△PAE

BDEPxAEAD

RtABG中,∵AB2

AGGB2

RtAGC中,AC2AG4

AE2AD2AF2+EF2

22+2x2=(12+42x3+2

整理得:9x212x0

解得x(舍弃)或0

PH0,此时EPH共点,

AF1+

tanEAF2

根据对称性可知当点EAC的上方时,同法可得tanEAC

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1)求甲、乙两种灯笼每对的进价;

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2)补全条形统计图;

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1)如图1,若CECF,求证:DEDF

2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中:

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②若CE9CF4,求CN的长.

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