Question

2．如图，△ABO中，AB⊥OB，AB=$\sqrt{3}$，OB=1，把△ABO绕点O旋转120°后，得到△A₁B₁O，则点A₁的坐标为（-2，0）或（1，-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 在Rt△OAB中利用勾股定理计算出OA=2，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠A=30°，所以∠AOB=60°，然后分类讨论：当△ABO绕点O逆时针旋转120°后，点A的对应点A′落在x轴的负半轴上，如图，OA′=OA=2，易得A′的坐标为（-2，0）；当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A₁落在第四象限，如图，则OA₁=OA=2，∠AOA₁=120°，∠BOA₁=30°，利用三角函数可求出A₁的纵坐标和横坐标．

解答 解：在Rt△OAB中，∵AB=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=2，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
①当△ABO绕点O逆时针旋转120°后，点A的对应点A₁落在x轴的负半轴上，如图，OA₁=OA=2，此时A₁的坐标为（-2，0）；
②当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A₁′落在第三象限，如图，则OA₁′=OA=2，∠AOA₁′=120°，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOA₁′=60°，
∴点A₁′的横坐标为OA₁′•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，纵坐标为OA₁′•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
A₁′的坐标为（1，-$\sqrt{3}$）．
综上所述，A₁的坐标为（-2，0）或（1，-$\sqrt{3}$）．
故答案为（-2，0）或（1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．