【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CECA.
(1)求证:BC=CD;
(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析,(2)⊙O的半径为4.
【解析】
(1)由DC2=CECA和∠ACD=∠DCE,可判断△CAD∽△CDE,得到∠CAD=∠CDE,再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD,所以∠CDB=∠CBD,于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC;
(2)连结OC,如图,设⊙O的半径为r,先证明OC∥AD,利用平行线分线段成比例定理得到=2,则PC=2CD=4,然后证明△PCB∽△PAD,利用相似比得到,再利用比例的性质可计算出r的值.
(1)证明:∵DC2=CECA,
∴,
而∠ACD=∠DCE,
∴△CAD∽△CDE,
∴∠CAD=∠CDE,
∵∠CAD=∠CBD,
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=DC;
(2)连结OC,如图,
设⊙O的半径为r,
∵CD=CB,
∴,
∴∠BOC=∠BAD,
∴OC∥AD,
∴==2,
∴PC=2CD=4,
∵∠PCB=∠PAD,∠CPB=∠APD,
∴△PCB∽△PAD,
∴,即,
∴r=4,
即⊙O的半径为4.
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【题目】抛物线与轴交于A、B两点,点P在函数的图象上,若△PAB为直角三角形,则满足条件的点P的个数为( ).
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个
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【题目】如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PMPH;④EF的最小值是.其中正确结论是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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【题目】如图,弓形ABC中,∠BAC=60°,BC=2,若点P在优弧BAC上由点B向点C移动,记△PBC的内心为I,点I随点P的移动所经过的路程为m,则m的取值范围为_____.
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【题目】为了解某校九年级学生立定跳远水平,随机抽取该年级50名学生进行测试,并把测试成绩(单位:m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组 | 频数 |
1.2≤x<1.6 | a |
1.6≤x<2.0 | 12 |
2.0≤x<2.4 | b |
2.4≤x<2.8 | 10 |
请根据图表中所提供的信息,完成下列问题:
(1)表中a= ,b= ,样本成绩的中位数落在 范围内;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)该校九年级共有850名学生,估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的学生有多少人?
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【题目】如图,AB∥CD,且AB=2CD,E是AB的中点,F是边BC上的动点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:△EDM∽△FBM;
(2)若F是BC的中点,BD=12,求BM的长;
(3)若AD=BC,BD平分∠ABC,点P是线段BD上的动点,是否存在点P使DPBP=BFCD,若存在,求出∠CPF的度数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线,与x轴交于点C,点C在点D的左侧,与y轴交于点A.
求抛物线顶点M的坐标;
若点A的坐标为,轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;
在的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.
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