Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的点， CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，过点E作 EG⊥0C，垂足为G，延长EG交OA于H。

求证：
（1）HO·HF=HG·HE；
（2）FG=CD

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵ EG⊥0C， EF⊥AB
∴ ∠HGO=∠HFE=90°
又 ∵ ∠GHO=∠FHE
∴△HGO∽△HFE
∴
即HO·HF=HG·HE 。
（2）解：过点G作 GM⊥0H，垂足为M，连结OE
∵ ，∠EHO=∠FHG
∴ △HGF∽△HOE
∴ ∠HFG=∠HEO
∵ GM⊥0H，EG⊥0C
∴∠GMF=∠OGE=90°
∴ Rt△FGM∽Rt△EOG
∴
又 GM∥CD
∴ 即
∴ 由OE=OC，得GF=CD 。
【解析】(1）根据垂直的定义得出 ∠HGO=∠HFE=90°，又 ∠GHO=∠FHE ，从而判断出 △HGO∽△HFE ，根据相似三角形对应边成比例得出根据比例的性质得出 HO·HF=HG·HE；
（2）过点G作 GM⊥0H，垂足为M，连结OE ，根据及∠EHO=∠FHG由两边对应成比例，及夹角相等的两个三角形相似得出△HGF∽△HOE，由相似三角形对应角相等得出 ∠HFG=∠HEO ，根据垂直的定义得出∠GMF=∠OGE=90°，进而得出 Rt△FGM∽Rt△EOG；由相似三角形对应边成比例得出,根据平行线分线段成比例定理得出,即,进而得出,根据OE=OC，得GF=CD。