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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图,顶点为(-1,0),下列结论:abc<0;b2-4ac=0;a>2;4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】B
【解析】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴左边,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c+2>2,
∴c>0,
∴abc>0,
∴结论①不正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点,
∴△=0,
即b2﹣4a(c+2)=0,
∴b2﹣4ac=8a>0,
∴结论②不正确;
∵对称轴x=﹣ =﹣1,
∴b=2a,
∵b2﹣4ac=8a,
∴4a2﹣4ac=8a,
∴a=c+2,
∵c>0,
∴a>2,
∴结论③正确;
∵对称轴是x=﹣1,而且x=0时,y>2,
∴x=﹣2时,y>2,
∴4a﹣2b+c+2>2,
∴4a﹣2b+c>0.
∴结论④正确.
综上,可得
正确结论的个数是2个:③④.
答案为:B.
抛物线开口向上可知a>0,对称轴在y轴左边,根据“左同右异”法则,b>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方c+2>2,得c>0;由对称轴公式,得到b=2a;4a﹣2b+c+2就是x=2时的函数值,结合图像4a﹣2b+c+2>2,即4a﹣2b+c>0.

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