Question

【题目】在锐角△ABC中，∠BAC＝60，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF＝EF；②AD∶AB＝AE∶AC；③△DEF是等边三角形；④BE＋CD＝BC；⑤当∠ABC＝45时，BE＝DE中，一定正确的有 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中点，∴EF=DF= BC．①正确；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．②正确；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形．③正确；
④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE= BC= DE．
故答案为①②③⑤
利用直角三角形的斜边中线定理可得EF=DF= BC；可证出△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC；由∠BFE+∠CFD=360°-120°-120°=120°，可知∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形；可采用反证法得出④错误；若∠ABC=45°，可得BE= BC= DE.