【题目】如图,直线AB、CD、MN相交与点O,FO⊥BO,OM平分∠DOF
(1)请直接写出图中所有与∠AON互余的角: .
(2)若∠AOC=∠FOM,求∠MOD与∠AON的度数.
【答案】(1)∠FOM,∠MOD,∠CON;(2)20°,70°
【解析】
(1)根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°,由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON互余的角有:∠FOM,∠MOD,∠CON;
(2)设∠MOD的度数为x°,用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数,然后由∠AOC=∠BOD,得出∠FOD+∠AOC=90°,据此列方程求解,再由(1)中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数.
解:(1)∵FO⊥BO,∴∠BOF=∠AOF=90°,
∴∠BOM+∠FOM=90°,
又∠BOM=∠AON,∴∠AON+∠FOM=90°.
∵OM平分∠DOF,∴∠DOM=∠FOM,
又∵∠DOM=∠CON,
∴与∠AON互余的角有:∠FOM,∠MOD,∠CON;
(2)设∠MOD的度数为x°,
∵OM平分∠FOD,
∴∠MOD=∠FOM=x°,
∴∠FOD=2x°,∠AOC=∠FOM=°,
又∵FO⊥BO,∠AOC=∠BOD,
∴∠FOD+∠AOC=90°,
即2x+=90,
解得:x=20.
即∠MOD=20°,
由(1)可知∠MOD与∠AON互余,
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°.
故∠MOD的度数为20°,∠AON的度数为70°.
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【题目】定义:有一个内角为90°,且对角线相等的四边形称为准矩形.
(1)①如图1,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,若AB=2,BC=3,则BD= ;
②如图2,直角坐标系中,A(0,3),B(5,0),若整点P使得四边形AOBP是准矩形,则点P的坐标是 ;(整点指横坐标、纵坐标都为整数的点)
(2)如图3,正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB上的点,且CF⊥BE,求证:四边形BCEF是准矩形;
(3)已知,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,当△ADC为等腰三角形时,请直接写出这个准矩形的面积是 .
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【题目】材料一,在平面里有两点,,若为起点,为终点,则把有方向且有长度的线段叫做向量,记为:,并且可用坐标表示这个向量,表示方法为:
,向量的长度可以表示成
例如:,则,
即所以
材料二:若,,则
若时,则.
根据材料解决下列问题:
已知中,,,
(1)________ ___________
(2)当时,求证:是直角三角形.
(3)若,,求使恒成立的的取值范围.
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【题目】如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和教育家克洛尔于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=。
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【题目】如图,一架的云梯斜靠在一竖直的墙上,这时为.
(1)求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远;
(2)当,且时,AC的长是多少米;
(3)如果梯子的底端向墙一侧移动了2米,那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图,顶点为(-1,0),下列结论:①abc<0;②b2-4ac=0;③a>2;④4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】“元旦”期间,某文具店购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价如下表:
型号 | 进价(元/只) | 售价(元/只) |
型 | 10 | 12 |
型 | 15 | 23 |
(1)该店用1300元可以购进,两种型号的文具各多少只?
(2)若把(1)中所购进,两种型号的文具全部销售完,利润率超过40%没有?请你说明理由.
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【题目】如图1,将一副三角板的直角重合放置,其中∠A=30°,∠CDE=45°.
(1)如图1,求∠EFB的度数;
(2)若三角板ACB的位置保持不动,将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转.
①当旋转至如图2所示位置时,恰好CD∥AB,则∠ECB的度数为 ;
②若将三角板CDE继续绕点C旋转,直至回到图1位置.在这一过程中,是否还会存在△CDE其中一边与AB平行?如果存在,请你画出示意图,并直接写出相应的∠ECB的大小;如果不存在,请说明理由.
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【题目】下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A.提取公因式 |
B.平方差公式 |
C.两数和的完全平方公式 |
D.两数差的完全平方公式 |
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________ .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
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