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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.

(1)求证:AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;

(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】1)详见解析;(2)当t=10时,AEFD是菱形;(3)当t=△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);

t=时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°),理由见解析.

【解析】试题分析:(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;

2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;

3)分两种情况讨论即可求解.

【解答】(1)证明:直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°

∵CD=4tAE=2t

在直角△CDF中,∠C=30°

∴DF=CD=2t

∴DF=AE

解:(2∵DF∥ABDF=AE

四边形AEFD是平行四边形,

AD=AE时,四边形AEFD是菱形,

60﹣4t=2t

解得:t=10

即当t=10时,AEFD是菱形;

3)当t=△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);

t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:

∠EDF=90°时,DE∥BC

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t

∴DF=2t=AE

∴AD=4t

∴4t+4t=60

∴t=时,∠EDF=90°

∠DEF=90°时,DE⊥EF

四边形AEFD是平行四边形,

∴AD∥EF

∴DE⊥AD

∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°

∵∠A=60°

∴∠DEA=30°

∴AD=AE

AD=AC﹣CD=60﹣4tAE=DF=CD=2t

∴60﹣4t=t

解得t=12

综上所述,当t=△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).

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