Question

【题目】定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．

例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝．

（1）在△OAB中，

①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；

②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；

③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．

其中真命题有　 　．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．

①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；

②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为　 　．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①证明见解析；②y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．

【解析】

（1）根据射影值的定义一一判断即可．

（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△BOH∽△COB，由相似三角形的性质可得∠BHO＝∠CBO＝90°，根据切线的判定定理可得答案；

②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．分两种情况考虑：当∠DOB＜90°时；当∠BOD＝90°时．

解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形；

②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；

③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；

故答案为：B．

（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，

∵点B在射线OA上的射影值为，

∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，

∴＝，

又∵∠BOH＝∠COB，

∴△BOH∽△COB，

∴∠BHO＝∠CBO＝90°，

∴BC⊥OB，

∴直线BC是⊙O的切线；

②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，

当∠DOB＜90°时，设DM＝h，

∵D为线段BC的中点，

∴S△OBD＝S△ODC，

∴OB×DN＝OC×DM，

∴DN＝2h，

∵在Rt△DON和Rt△DOM中，

OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，

∴4h2+y2＝h2+x2，

∴3h2＝x2﹣y2①，

∵BD2＝CD2，

∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，

①②消去h得：y＝2x﹣．

如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，

∵D为线段BC的中点，

∴S△OBD＝S△ODC，

∴OB×DO＝OC×DM，

∵CA＝OA＝OB＝1，

∴OD＝2DM，

∴sin∠DOM＝，

∴∠DOM＝30°，

设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，

∴h2+＝1+4h2，

∴h＝，

∴OM＝，

当点B在OC上时，OD＝，

综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．

故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．