Question

如图，正六边形ABCDEF的半径为4，M、N分别为边AF、CD的中点，则四边形MBNE的面积为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图，作辅助线，首先求出BE、MN的长；证明四边形MBNE为菱形，问题即可解决．

解答：解：如图，连接OM、ON、OB、OC、OD、OE；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=

1

6

×360°=60°，
∠BCN=∠EDN，BC=CD=DE；而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，
∴BC=OB=4，B、O、E三点共线，BE=2OB=8；
同理可求MN=BE=8；
在△BCN与△EDN中，

BC=ED ∠BCN=∠EDN CN=DN

，
∴△BCN≌△EDN（SAS），
∴BN=EN；同理可求NE=EM=MB，
∴四边形MBNE是菱形，
∵在△OCD中，ON=2

3

，
∴MN=4

3

，
∴S菱形MBNE=

1

2

BE•MN=

1

2

×8×4

3

=16

3

．

点评：该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．