Question

如图，已知AB=BD，∠ABD=90°，△ABC为等边三角形，∠AMD=60°，BE平分∠ABD．
（1）求∠BEC的度数；
（2）探究MD+MA与ME的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易求得∠DBC=150°，BD=BC，即可求得∠BCE度数，再根据BE平分∠ABD可求得∠CBE度数，根据三角形内角和为180°即可解题；
（2）连接AE，延长MA于F使FA=FM，连接EF，易证△BDE≌△BAE，可得AE=DE，∠AEB=∠BED=120°，进而可以求证△EDM≌△EAF，可得ME=MF，∠EMF=∠EFM=30°，即可求得MF和ME大小关系即可解题．

解答：解：

（1）∵AB=BD，△ABC是等边三角形，
∴AD=BD=AC，
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵△ABD是等腰直角三角形，∠ABC=60°，
∴∠BCE=15°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠EBC=105°，
∴∠BEC=60°，
（2）连接AE，延长MA于F使FA=FM，连接EF，
∵在△BDE和△BAE中，

BE=BE ∠ABE=∠DBE BA=BD

，
∴△BDE≌△BAE，（SAS）
∴AE=DE，∠AEB=∠BED=120°，
∴∠AED=120°，
∵∠AED+∠AMD=60°+120°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
∵∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF，
∵在△EDM和△EAF中，

FA=DM ∠EDM=∠EAF AE=DE

，
∴△EDM≌△EAF，（SAS）
∴ME=MF，∠EMF=∠EFM=30°，
∴MD+MA=MF=

3

ME．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△BAE和△EDM≌△EAF是解题的关键．