Question

8．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²
（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于m-n（用含m、n的代数式表示）
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．
方法①（m+n）²-4mn          方法②（m-n）²
（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）²、（m-n）²、mn关系的等式：（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y=7，xy=10，则（x-y）²=9；
（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）²-8ab的值为4cm²．

Answer 1

分析 （1）阴影部分的正方形的边长为m-n；
（2）方法①：阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积；方法②：表示出小正方形的边长为m-n，即可解答；
（3）大正方形的面积减去4个小长方形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）²、（m-n）²、mn之间的等量关系；
（4）根据（3）所得出的关系式，可求出（x-y）²的值；
（5）利用图形面积之间关系得出（a+2b）²-8ab=（a-2b）²即可求出．

解答 解：（1）阴影部分的正方形的边长为m-n；
故答案为：m-n．
（2）方法①：阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
所以阴影部分的面积为：（m+n）²-4mn；
方法②：表示出小正方形的边长为m-n，
所以阴影部分的面积=（m-n）²．
故答案为：（m+n）²-4mn；（m-n）²．
（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn；
故答案为：（m-n）²=（m+n）²-4mn．
（4）（x-y）²=（x+y）²-4xy=7²-4×10=9；
故答案为：9．
（5）∵（a+2b）²-8ab=（a-2b）²=2²=4（cm²），
∴（a+2b）²-8ab的值为4cm²．
故答案为：4cm²．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．