Question

1．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一 点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．
（1）若PQ垂直于AE，则PQ与AE相等吗？为什么？
（2）若PQ=AE，则AP等于多少？

Answer 1

分析 （1）作PF⊥BC于F，则∠PFQ=90°，PF=CD，由正方形的性质得出AD=CD=6cm，∠D=90°，证出∠QPF=∠DAE，由ASA证明△PFQ≌△ADE，即可得出结论；
（2）先由三角函数求出AE，得出AM，再证明Rt△PFQ≌Rt△ADE，得出∠FPQ=∠DAE，证出∠AMP=90°，证明△APM∽△AED，得出比例式求出AP即可．

解答 解：（1）PQ=AE；理由如下：
作PF⊥BC于F，如图1所示：
则∠PFQ=∠PFC=90°，PF=CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=6cm，∠D=90°，AD∥BC，
∴PF=AD，APF=∠PFC=90°，
∴∠APM+∠QPF=90°，
∵PQ⊥AE，
∴∠AMP=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠QPF=∠DAE，
在△PFQ和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠D=90°}&{\;}\\{PF=AD}&{\;}\\{∠QPF=∠DAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFQ≌△ADE（ASA），
∴PQ=AE；
（2）∵∠DAE=30°，
∴AE=$\frac{AD}{cos∠DAE}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$（cm），
∵M为AE的中点，
∴AM=2$\sqrt{3}$cm，
作PF⊥BC于F，如图2所示：
则∠PGQ=90°，PF=AD，
在Rt△PFQ和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PF=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），
∴∠FPQ=∠DAE，
∵∠FPQ+∠APM=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠AMP=90°=∠D，
∵∠PAM=∠DAE，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AM}{AD}$，
即$\frac{AP}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
∴AP=4cm．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．