Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点.

（1）若此抛物线经过点，且与轴相交于点.

①填空： （用含的代数式表示）；

②当的值最小时，求抛物线的解析式；

（2）若，当，抛物线上的点到轴距离的最大值为3时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①﹣2a﹣1，②抛物线解析式为y=x2﹣3x+；（2）1或﹣5.

【解析】

试题分析：（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；

（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=﹣b，由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值．

试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，），

∴c=，∵抛物线经过点B（2，），∴=4a+2b+，

∴b=﹣2a﹣1，故答案为﹣2a﹣1；

②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+，

令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+=0，

∵△=（2a+1）2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4（a﹣）2+＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=，

∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，

∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+；

（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2+bx+，

∴抛物线对称轴为x=﹣b，

∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，

当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+=﹣b2+，

①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在0＜x＜1范围内，满足条件；

②当|﹣b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在0＜x＜1范围内，故不符合题意，

综上可知b的值为1或﹣5．