Question

6．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，BP=CQ；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出BP与CQ，由BP=CQ列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形能与以C、Q、B为顶点的三角形相似，分两种情况考虑：①当△APQ∽△CQB时；②当△APQ∽△CBQ时，由相似得比例求出x的值即可．

解答 解：（1）依题意可得：BP=20-4x，CQ=3x，
当BP=CQ时，20-4x=3x，
∴x=$\frac{20}{7}$（秒），
答：当x=$\frac{20}{7}$秒时，BP=CQ；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似，
①当△APQ∽△CQB时，有$\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{CB}$，即$\frac{4x}{3x}$=$\frac{30-3x}{20}$，
解得：x=$\frac{10}{9}$（秒）；
②当△APQ∽△CBQ时，有$\frac{AP}{CB}$=$\frac{AQ}{CQ}$，即$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{3x}$，
解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去），
答：当x=$\frac{10}{9}$或x=5秒时，△APQ与△CQB相似．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，一元一次方程的解法，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．