Question

16．（1）计算：（3-π）⁰+（-$\frac{1}{3}$）^-2+$\sqrt{8}$-2|sin45°-1|；
（2）先化简，再求值：$（1+\frac{1}{{{m^2}-1}}）÷（m-\frac{m}{m+1}）$，其中实数m使关于x的一元二次方程x²-4x-m=0有两个相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）利用零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=$\frac{1}{m-1}$，然后根据判别式的意义求出m的值，再把m的值代入原式=$\frac{1}{m-1}$中计算即可．

解答 解：（1）原式=1+9+2$\sqrt{2}$-2|$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1）
=10+2$\sqrt{2}$+2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1）
=10+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$-2
=8+3$\sqrt{2}$；
（2）原式=$\frac{{m}^{2}+1-1}{（m+1）（m-1）}$÷$\frac{m（m+1）-m}{m+1}$
=$\frac{{m}^{2}}{（m+1）（m-1）}$•$\frac{m+1}{{m}^{2}}$
=$\frac{1}{m-1}$，
∵一元二次方程x²-4x-m=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4）²-4（-m）=0，
∴m=-4，
当m=-4时，原式=$\frac{1}{-4-1}$=$-\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算和根的判别式．